MAKALAH
BENTUK-BENTUK ARGUMEN
Makalah ini Diajukan sebagai Pemenuhan Tugas
Mata Kuliah
Logika Matematika
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami ucapkan kehadirat Tuhan
Yang Maha Esa atas rahmat dan
hidayah-Nya kepada penulis sehingga berhasil menyelesaikan makalah yang
berjudul “Bentuk-Bentuk Argumen”.
Makalah ini disusun agar pembaca dapat
mengetahui apa saja bentuk-bentuk dari Argumen serta contohnya. dan dapat menjadikan panutan belajar bagi
pembaca. Serta menjadikan suatu pengetahuan
yang bermanfaat bagi pembaca yang membacanya.
Penulis juga mengucapkan terima kasih
kepada semua pihak yang telah banyak membantu penulis agar dapat menyelesaikan
makalah ini.
Semoga
makalah ini bisa memberikan wawasan serta infornmasi yang lebih luas kepada
pembaca.walaupun makalah ini memiliki kelebihan dan kekurangan. Penulis mohon
untuk saran dan kritiknya. Terima kasih.
Batam, 10 Januari 2012
Penulis
DAFTAR ISI
HALAMAN
JUDUL................................................................................................ i
KATA
PENGANTAR............................................................................................. ii
DAFTAR ISI............................................................................................................ iii
BAB I PENDAHULUAN
I.1 Latar Belakang...................................................................................... 1
I.2 Rumus Masalah.................................................................................... 2
I.3 Manfaat................................................................................................. 2
BAB II PEMBAHASAN
II.1 Pengertian Argumen............................................................................. 3
II.2 Bukti
formal,keabsahan Argumen........................................................ 9
II.3 Bukti
langsung dan bukti tak langsung................................................ 20
BAB III PENUTUP
III.1 Kesimpulan......................................................................................... 31
III.2 Saran................................................................................................... 31
DAFTAR PUSTAKA
BAB I
PENDAHULUAN
I.1 Latar Belakang
Logika berasal
dari bahasa Yunani “logos”. Dalam bhs. Inggris berarti “word”, “speech”
atau “what is spokeAn”
Definisi Logika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari atau berkaitan
dengan prinsip-prinsip dari penalaran argumen yang valid.
Logika sebagai salah satu ilmu formal, atau satu bidang
ilmu yang bisa berdiri sendiri, dapatdigunakan
untuk mengevaluasi dan mengelompokkan struktur dari argumen-argumen dan pernyataan-pernyataan
yang diperoleh dari studi tentang pengaruh formal sistem dan melaluistudi
tentang argumen pada bahasa manusia sehari-hari. Jadi cakupan logika memang
sangatluas, sejak dari studi tentang fallacies dan
paradoksparadok( paradoxes)keanalisis penalaran
yang akanmengoreksi penalaran secara benar dan argumen-argumen yang berhubungan
dengan sebab-akibat.Studi logika sebenarnya juga adalah suatu usaha untuk
menentukan kondisi, di mana sesuatudiambil
dari pernyataan-pernyataan yang diberikan, dan disebut premis-premis (premises),untuk memperoleh suatu kesimpulan (conclusion) yang harus mengikuti atau sesuai dengan premis-premis
tersebut.
Jadi, inilah yang
sebenarnya disebut argumen, yakni suatu usaha untuk mencari kebenarandari suatu pernyataan berupa kesimpulan dengan
berdasarkan pada kebenaran dari satukumpulan
pernyataan yang disebut premis-premis. Bentuk argumen artinya sekumpulan pernyataan
yang terdiri dari premis-premis dan diikuti satu kesimpulan.
I.2 Rumusan Masalah
·
Apakah pengertian dari
Argumen ?
·
Bentuk-bentuk Argumen
serta contohnya
I.3 Manfaat
Adapun manfaat dari
makalah ini adalah :
·
Pembaca dapat
memahami defenisi dari argument itu
sendiri melalui contoh.
·
dapat mengetahui
bentuk – bentuk dari Argumen, beserta contohnya.
·
Dapat menjadi panutan
belajar mengajar bagi siswa maupun guru
BAB II
PEMBAHASAN
II.1 Argumen
Argumen adalah mencari
kebenaran dari suatu pernyataan berupa kesimpulan, dengan berdasarkan pada
kebenaran dari satu kumpulan pernyataan yang disebut premis-premis Argumen artinya
sekumpulan pernyataan yang terdiri dari premis-premis dan diikuti satu
kesimpulan.
Contoh :
1. semua mahasiswa pandai
Badu adalah mahasiswa
dengan demikian, badu
pandai
2. semua manusia bermata empat
Badu seorang manusia
dengan demikian, badu
bermata empat
Argumen
juga merupakan serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan pernyataan penarikan kesimpulan. Argumen
terdiri dari pernyataan-pernyataan yang terbagi atas dua kelompok, yakni
kelompok pernyataan sebelum kata “jadi”, yang disebut premis-premis, dan
kelompok lain yang hanya terdiri atas satu pernyataan dinamakan konklusi. Yang
dimaksud dengan konklusl suatu argument ialah pernyataan yang ditegaskan
berdasarkan pernyataan lainnya, sedangkan pernyataan-pernyataan lainnya itu yang dianggap sebagai yang
memberikan alasan untuk memerima konklusi tersebut adalah premis-premis dari
argumaen itu. Penarikan keseluhannya disebut suatu pennyimpulan atau suatu
penarikan kesimpulan.
Contoh argumen:
Jika Opan seorang insinyur, maka Opan bisa memperbaiki mesin.
Opan seorang insinyur.
Jadi, Opan bisa memperbaiki mesin.
Kalimat (pernyataan)
yang berwarna biru disebut sebagai premis, sedangkan kalimat yang berwarna
merah disebut sebagai konlusi. Argumen di atas bisa juga dinyatakan dalam
bentuk simbol-simbol seperti di bawah ini.
S:
opan seorang insyur
m: Opan bisa memperbaiki mesin
s → m
s
Jadi, m
Selain
dalam bentuk simbol-simbol, argumen bisa juga dinyatakan dalam pernyataan
kondisional (pernyataan majemuk implikasi). Contoh di atas jika dinyatakan
dalam pernyataan kondisional akan menjadi seperti berikut.
[(s
→ m) ^ s] → m
Untuk
membuktikan bahwa argumen di atas valid (sah), harus dicari nilai kebenaran
pernyataan kondisional dari argumen tersebut. Jika pernyataan kondisional yang
bersesuaian dengan argumen tersebut meruapakan tautologi, maka argumen tersebut
merupakan argumen yang valid (sah).
Proposisi : pernyataan
yang bernilai benar atau salah yang bisa dihubungkan dengan logika. Pernyataan seperti ini
Iinferensi: metode penarikan kesimpulan dari beberapa
proposisi
ATURAN INFERENSI
Aturan
|
Inferensi
|
Modus Ponen
|
p ® q
p
|
}
|
\ q
|
Modus Tolen
|
p ® q
~q
|
}
|
\ ~p
|
Penambahan
Disjungsi
|
p
|
}
|
\ p Ú q
|
Q
|
}
|
\ p Ú q
|
Penambahan
Konjungsi
|
p Ù q
|
}
|
\ p
|
p Ù q
|
}
|
\ q
|
Silogisme
Disjungsi
|
p Ú q
~p
|
}
|
\ q
|
p Ú q
~q
|
}
|
\ p
|
Silogisme
Hipotesis
|
p ® q
q ® r
|
}
|
\ p ® q
|
Dilema
|
p Ú q
p ® r
q ® r
|
}
|
\ r
|
Konjugasi
|
p
q
|
}
|
\ p Ù q
|
Langkah Penyelesaian :
1.Argumentasi
2.Tentukan Proposisi
3.Tentukan Fakta
4.Gunakan Aturan Inferensi
5.Kesimpulan
ARGUMENTASI
a.
Jika kacamataku ada di dapur, maka aku pasti sudah melihatnya ketika
sarapan pagi.
b.Aku mambaca Koran di ruang tamu atau
aku membacanya di dapur.
c.
Jika aku membaca Koran di ruang tamu, maka pastilah kacamata
kuletakkan di meja tamu.
d.
Aku tidak melihat kacamataku pada waktu sarapan pagi.
e.
Jika aku membaca buku di ranjang, maka kacamata ku letakkan di meja
samping ranjang.
f.
Jika aku membaca Koran di dapur, maka kacamataku ada di meja dapur.
Berdasarkan Fakta-fakta yang ada, tetukan letak kacamata!
PROPOSISI
P
|
Kacamata ada di meja dapur.
|
Q
|
Aku melihat kacamataku ketika sarapan pagi.
|
R
|
Aku membaca Koran di ruang tamu.
|
S
|
Aku membaca Koran di dapur.
|
T
|
Kacamata ku letakkan di meja tamu.
|
U
|
Aku membaca buku di ranjang.
|
V
|
Kacamata ku letakkan di meja samping ranjang.
|
FAKTA
A
|
p ® q
|
B
|
r Ú s
|
C
|
r ® t
|
D
|
~q
|
E
|
u ® v
|
F
|
s ® p
|
Penyelesaian
:
p ®
q |
r Ú s |
r ®
t |
~q
|
u ® v
|
s ® p
|
Modus Tolen
|
p ® q
~q
|
}
|
\ ~p
|
Modus Tolen
|
s ® p
~p
|
}
|
\ ~s
|
Silogisme
Disjungsi
|
r Ú s
~s
|
}
|
\ r
|
Modus Ponen
|
r ® t
r
|
}
|
\ t
|
Kesimpulan : t
Kacamata
kuletakkan dimeja tamu.
Proposisi : Kalimat deklaratif yang bernilai salah atau benar.
Contoh : 2+2=4 ………. Deklaratif
X+3=5……….
Bukan Deklaratif
X+4=5……….
Bukan Deklaratif
· Validitas argument
Validitas argumen adalah premis-premis yang diikuti oleh suatu kesimpulan
yang berasal dari premis-premisnyai dan bernilai benar.
Jika salah satu atau lebih premis-premisnya salah, maka kesimpulan dari
argumen tersebut juga salah, Tidak mungkin kesimpulan yang salah dari
premis-premis yang benar, atau premis- premis
yang benar tidak mungkin menghasilkan kesimpulan yang salah.
Contoh :
1. semua mamalia adalah hewan berkaki 4
semua manusia adalah
mamalia
dengan demikian, semua
manusia adalah binatang berkaki empat.
Ini adalah argumen yang
valid, tetapi premis yang pertama bernilai salah. Argumen diatas tetap valid karena
kesimpulannya tetap mengikuti premis – premisnya. Ini disebut dengan Tautologi
(tautology)atau valid kebenarannya secara fungsional.
Contoh :
2. ada jenis mahkluk hidup berkaki dua
semua manusia adalah
mahkluk hidup
dengan demikian, semua
manusia berkaki dua.
Argumen diatas tidak
valid, tapi menghasilkan kesimpulan yang benar meskipun tidak mengikuti
premis-premisnya, Jadi logika hanya mempermasalahkan bentuk dari argumen bukan
isi argumen.Jika argumen valid, maka pokok pernyataan dapat digantikan untuk
semua yang bisa digantikannya dan validitas tidak terganggu. Akan tetapi, jika
argumen tidak valid, maka akan menganggu. ,
jika “berkaki dua” diganti “berkaki empat”, maka membuat
premis-premis bernilai benar, tetapi kesimpulan salah.Validitas yang logis
adalah hubangan antara premis-premis dengan kesimpulan memastikan bahwa jika premis-premis benar, maka harus
diikuti dengan kesimpulan yang benar, yangdiperoleh dengan mengunakan aturan-aturan logika. Kesimpulan juga harus
berasal dari premis-premisnya.Argumen
logis disebut kuat secara logis, jika dan hanya jika argumenya valid dan semua premis-premisnya
bernilai benar.Suatu argument logis dapat
disebut kuat (sound) jika dan hanya jika memenuhi dua persyaratan
berikut :(a). Argumen valid(b). Semua premis-premisnya benar.
II.2 Bukti formal, keabsahan argument
Pembuktian keabsahan suatu
bentuk argument yang mengandung banyak variable melalui tabel nilai adalah
kurang praktis. Lagi pulas, cara yang demikian tidak akan memupuk pandangan
kita tentang hubungan antara argumemn-argumen, hal ini dikarenakan cara ter
sebut hanya bekerja sebagai mesin tanpa menambah pengetahuan, mislnya untuk
pembuktian suatu argument yang terdiri dari 5 variabel, kita memerlukan. Table
yang besar yang memuat 25 = 32g baris. Sungguh merupakan
suatu pekerjaan yang amat menjemukan untuk memerikasa keabsahan aragumen itu
baris demi baris.
Ada suatu cara yang lebih baik dan lebih singkat, disampinng suatu cara
mendidik, yaitukita lakukan tes keaabsahan tersebut melalui sekumpulan
argument-argumen kecil yang skemanya terlebih dahulu kita kuasai.
BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN
Bukti keabsahan argumen dapat melalui:
1. Tabel Kebenaran
2.
Aturan Penyimpulan
Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya sedikit bukti
keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk argumen yang
premis-premisnya kompleks harus menggunakan aturan-aturan yang ada pada logika
diantaranya aturan penyimpulan.
Contoh:
Buktikan keabsahan argument:
1. 1. p à q
2.~ q / \~p
2. 1. a à b
2. c à d
3. ( ~b v ~d ) Ù ( ~a v ~b )/ \~a v ~c
Bukti:
Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran
P
|
q
|
~p
|
~q
|
p àq
|
q [( p àq) Ù ~q]
|
[(p àq) Ù ~q] à ~p
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Karena dari tabel kebenaran di
atas menunjukkan tautologi, maka argumen sah:
Soal no. 2 menggunakan aturan penyimpulan
1. a à b
2.
c à d
3. ( ~b v ~d ) Ù ( ~a v ~b )/ \~a v ~c
4. ( a à b ) Ù ( c à d ) 1,2 Conj
5. ( ~b v ~d ) 3, Simpl
6. ~ a v ~c 4,5 DD
Keabsahan semua bentuk argument diatas dapat
diperiksa dengan memakai table nilai seperti dikemukakan sebelumnya, namun
dapat pula dilihat semua bentuk itu tidak lain dari pada tautology.
Ambil misalnya modus ponens. Bentuk argument ini tidak lain dari pada
bentuk tautology (<p
Þ
q) & p
Þq.
bentuk contruction dilemma (cd) tidak lain dari pada tautology: <p
Þ q) & p
Þq. (r
Þ s) & (q
Ú s).
Þ (q
Ú s). dan seterusnya.
·
Premis dan Argumen
Logika
berkenaan dengan penalaran yang dinyatakan dengan pernyataan verbal. Suatu
diskusi atau pembuktian yang bersifat matematik atau tidak, terdiri atas
pernyataan-pernyataan yang saling berelasi. Biasanya kita memulai dengan pernyataan-pernyataan
tertentu yang diterima kebenarannya dan kemudian berargumentasi untuk sampai
pada konklusi (kesimpulan) yang ingin dibuktikan.
Pernyataan-pernyataan
yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis, sehingga suatu
premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah
dibuktikan sebelumnya.
Sedang yang
dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau
lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi.
Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan dari premis-premis.
·
Validitas Pembuktian (I)
Selayaknya diturunkan dari premis-premis atau premis-premis selayaknya
mengimplikasikan konklusi, dalam argumentasi yang valid, konklusi akan bernilai
benar jika setiap premis yang digunakan di dalam argumen juga bernilai benar.
Jadi validitas argumen tergantung pada bentuk argumen itu dan dengan bantuan
tabel kebenaran.
Kebenaran yang digeluti oleh para matematikawan adalah kebenaran relatif. Benar
atau salahnya suatu konklusi hanya dalam hubungan dengan sistem aksiomatik
tertentu. Konklusi itu benar jika mengikuti hukum-hukum logika yang valid dari
aksioma-aksioma sistem itu, dan negasinya adalah salah.
Untuk menentukan
validitas suatu argumen dengan selalu mengerjakan tabel kebenarannya tidaklah
praktis. Cara yang lebih praktis banyak bertumpu pada tabel kebenaran dasar dan
bentuk kondisional. Bentuk argumen yang paling sederhana dan klasik adalah
Modus ponens dan Modus tolens.
1.
Modus Ponen
Premis 1 : p Þ q
Premis 2 : p
Konklusi : q
Cara membacanya : Apabila diketahui jika p maka q benar, dan p
benar, disimpulkan q benar. (Notasi : Ada yang menggunakan tanda \ untuk menyatakan konklusi, seperti p Þ q, p \ q)
Contoh :
1. Premis 1 : Jika saya belajar, maka saya lulus
ujian (benar)
Premis 2 : Saya belajar (benar)
Konklusi : Saya lulus ujian
(benar)
Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi)
menunjukkan validitas dari bentuk argumen modus ponen.
2.Jika
hujan mengguyur jalanan, maka jalanan akan basah Hujan mengguyur jalanan.
Jadi, jalanan akan basah.
Dalam
bentuk simbol menjadi
p→q
p
________
Jadi, q Argumen di atas merupakan argumen yang valid
(sah). Inilah yang dinamakan modus ponen
2.
Modus Tolen :
Premis 1 : p Þ q
Premis 2 : ~ q
Konklusi : ~ p
Contoh :
Premis 1 : Jika hari hujan maka saya memakai jas hujan (benar)
Premis 2 : Saya tidak
memakai jas hujan (benar)
Konklusi : Hari tidak hujan (benar)
Perhatikan bahwa jika p terjadi maka q terjadi, sehingga jika q
tidak terjadi maka p tidak terjadi.
Contoh:
Jika hujan mengguyur jalanan, maka jalanan
akan basah.
Jalanan tidak basah.
Jadi, hujan tidak mengguyur jalanan.
Dalam bentuk simbol
menjadi
p→q
~q
________
Jadi, ~p
Bentuk ini dinamakan
modus tollen. Tollen berasal dari bahasa Latin “tollere”, yang berarti
menyangka.
3. Silogisma (Hypothetical
Sylogism):
Premis 1 :
p Þ q
Premis 2 :
q Þ r
Konklusi : p Þ r
Contoh :
Premis 1 : Jika kamu benar, saya bersalah (B)
Premis 2 : Jika saya bersalah, saya minta maaf (B)
Konklusi : Jika kamu benar, saya minta maaf (B)
Jika Kita buang sampah tidak sembarangan,
maka lingkungan akan bersih
Jika lingkungan bersih, maka hidup akan lebih nyaman.
Jadi, Jika Kita buang sampah tidak sembarangan, maka hidup akan lebih nyaman.
Dalam bentuk
simbol-simbol, argumen di atas akan menjadi
p → q
q → r
___________
Jadi, p → r
Bentuk ini dinamakan
silogisme atau lebih tepatnya Hypothetical Sylogism. Argumen yang
merupakan bentuk modus ponen, modus tollen, dan silogisme merupakan argumen
yang valid (sah).
· Silogisma
Disjungtif
Premis 1 : p Ú q
Premis 2 : ~ q
Konklusi : p
Jika ada kemungkinan bahwa kedua
pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini
tidak valid.
Premis 1 : p ∨ q
Premis
2 : q
Konklusi
: ~ p
Tetapi jika ada kemungkinan kedua
pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar (disjungsi eksklusif), maka
sillogisma disjungtif di atas adalah valid.
Contoh :
1.
Premis 1 : Pengalaman ini berbahaya
atau membosankan (B)
Premis 2 :
Pengalaman ini tidak berbahaya (B)
Konklusi :
Pengalaman ini membosankan (B)
2.
Premis 1 : Air ini panas atau dingin
(B)
Premis 2 :
Air ini panas (B)
Konklusi :
Air ini tidak dingin (B)
3.
Premis 1 : Obyeknya berwarna merah
atau sepatu
Premis 2 :
Obyek ini berwarna merah
Konklusi :
Obyeknya bukan sepatu (tidak valid)
4.
Konjungsi
Premis
1 : p
Premis
2: q
Konklusi
: p Ù q
Artinya : p benar, q benar. Maka p Ù q benar.
5 .Tambahan
(Addition)
Premis 1 : p
Konklusi : p Ú q
Artinya : p benar, maka p Ú q benar (tidak peduli nilai benar atau
nilai salah yang dimiliki q).
Dua bentuk argumen valid yang lain adalah Dilema
Konstruktif dan Dilema Destruktif.
5.
Dilema Konstruktif
Premis 1 : (p Þ q) Ù (r Þ s)
Premis 2: p Ú r
Konklusi: q Ú s
Dilema konstruktif ini merupakan kombinasi dua
argumen modus ponen (periksa argumen modus ponen).
Contoh :
Premis 1 : Jika hari hujan, aku akan tinggal di rumah;
tetapi jika pacar datang, aku
Pergi
berbelanja.
Premis 2 : Hari ini hujan atau pacar datang.
Konklusi : Aku akan tinggal di rumah atau
pergi berbelanja.
·
Dilema Konstruktif :
Premis 1 : (p Þ q) Ù (r Þ s)
Premis 2 : ~ q
Ú ~ s
Konklusi : ~ p Ú ~ r
Dilema destruktif ini merupakan kombinasi
dari dua argumen modus tolens (perhatikan argumen modus tolen).
Contoh :
Premis 1 : Jika aku memberikan pengakuan, aku akan digantung; dan jika aku tutup
mulut, aku
Akan ditembak mati.
Premis 2 : Aku
tidak akan ditembak mati atau digantung.
Konklusi : Aku tidak akan memberikan pengakuan, atau tidak akan tutup mulut.
·
Validitas Pembuktian (II)(Hanya untuk
pengayaan)
Sekarang kita akan membicarakan pembuktian
argumen yang lebih kompleks dengan menggunakan bentuk-bentuk argumen valid di
atas.
Contoh :
Diberikan argumen : (p Ù q) Þ [p Þ (s Ù
t)]
(p Ù q) Ù r
s Ú
·
Apakah argumen di atas valid ?
Jawab :
Berikut ini adalah langkah-langkah
pembuktian yang dilakukan
(p
Ù q) Þ [p Þ (s Ù t)
Premis
(p
Ù q) Ù r Premis
p
Ù q 2, Penyederhanaan
p
Þ (s Ù t) 1, 3, Modus Ponen
p
3, Penyederhanaan
s
Ù t 4, 5, Modus Ponen
s
6, Penyederhanaan
\ s Ú t 7, Tambahan
Jadi argumen tersebut di atas adalah absah
(valid).
Jika pengetahuan
logika diperlukan atau pengetahuan aljabar diperlukan, maka semua orang akan
belajar matematika. Pengetahuan logika diperlukan dan pengetahuan geometri
diperlukan. Karena itu semua mahasiswa akan belajar matematika. Validkah
argumentasi di atas ?
Jawab :
Kita akan menerjemahka argumen- argumen di
atas ke bentuk simbol-simbol.
Misal
: l = pengetahuan logika diperlukan,
a =
pengetahuan aljabar diperlukan,
m =
Semua orang akan belajar matematika,
g =
pengetahuan geometri diperlukan.
Maka
:
(l
Ú a) Þ m Premis
l
Ù g Premis
l
2, Penyederhanaan
l
Ú a 3, Tambahan
\ m 1, 4, Modus Ponen
Jadi
argumen di atas adalah valid.
Demikianlah, kita dapat membuktikan
argumen - argumen yang tampaknya berbelit-belit dengan menggunakan argumentasi
valid yang telah kita miliki. Perhatikan baik-baik cara menerjemahkan
argumentasi itu menjadi simbol-simbol.
II.3 Bukti Langsung Dan Bukti Tak Langsung
Matematika dikenal sebagai mata
pelajaran yang bersifat deduktif aksiomatis. Hal ini telah diterima kebenarannya
seperti postulat atau aksioma, maupun teorema lain yang telah dibuktikan
kebenarannya seperti dalil atau rumus. Sebagai akibatnya, peran bukti
menjadimenunjukkan bahwa suatu pengetahuan baru merupakan akibat dari
pernyataan lain yang sangat penting dalam matematika.
Bukti (proof) adalah
argumen dari suatu premis ke suatu kesimpulan yang dapat meyakinkan orang lain
agar dapat menerima kesimpulan baru tersebut. Karenanya, pembuktian dalam matematika
harus didasarkan pada dua hal yang sangat penting. Yang pertama pembuktian
ituharus didasarkan pada pernyataan serta definisi yang jelas. Yang kedua, pembuktian tersebut harus didasarkan pada
prosedur penarikan kesimpulan yang valid. Dikenal dua prosedur pembuktian,
yaitu bukti langsung (direct proof) dan bukti tak langsung (indirect
proof).
a. Pembuktian
Langsung
Sekali lagi, pembuktian
langsung ini dilakukan untuk meyakinkan orang lain tentangkebenaran suatu
pernyataan. Pembuktian langsung biasanya menggunakan sillogisma berbentuk p _
q, q _ r, r _ s, … , y _ z sehingga disimpulkan p _ z seperti yang harus dibuktikan.
Contoh:
1. Buktikan
bahwa jika a + c = b + c, maka a = b
Bukti :
a + c = b + c [diketahui]
(a + c) + (– c) = (b + c) + (–
c) [menambah kedua ruas dengan – c]
[a + {c + (– c)}] = [b + {c +
(– c)}] [assosiatif]
a + 0 = b + 0 [invers]
a = b [identitas penjumlahan]
Pembuktian langsung di atas
menunjukkan bahwa dimulai dengan a + c = b + c dan dengan langkah yang runtut,
sesuai dengan aksioma yang ada, pada akhirnya akan didapat a = b. Hal terseut
menunjukkan juga bahwa dari suatu pernyataan dapat dibuktikan pernyataan lain yang
jika pernyataan awalnya (a + c = b + c) bernilai benar akan didapat pernyataan
lain (a = c)yang tidak mungkin bernilai salah. Teorema atau dalil tersebut
dapat digunakan untuk membentuk pernyataan, rumus, teorema atau dalil lainnya.
2.
Buktikan bahwa jumlah besar sudut-sudut suatu
segitiga adalah 180o.
Bukti:
Misalkan segitiga ABC-nya
adalah seperti gambar dibawah ini
18
Jika ditarik garis l //
AB, akan didapat gambar seperti di kanan atas. Dengan menggunakan teorema atau
dalil tentang dua garis sejajar yang dipotong garis lain, akan didapat:
A2 = C1 (dalam berseberangan)
B1 =C3 (dalam berseberangan)
Karena jumlah besar sudut-sudut
segitiga ABC adalah
A2 + B1 + C2=
C1 + C3 + C2 = 180o
Besar sudut 180o ini
didapat dari definisi bahwa sudut lurus besarnya 180o. Dengan
demikian terbuktilah bahwa jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180o.
Pembuktian ini dilakukan dengan runtut, dimulai dari segitiga ABC, lalu dengan
menggunakan dalil ataupun teorema yang sudah dibuktikan kebenarannya serta
definisi yang sudah ditentukan; dan diakhiri dengan kesimpulan yang menunjukkan
tentang jumlah besar sudut-sudut suatu seperti yang diharapkan.
b. Pembuktian Tak Langsung
Jika Anda diminta untuk
membuktikan secara deduktif seperti yang sering digunakan di matematika bahwa
bendera putih dengan bulatan merah bukanlah bendera Indonesia, apa yang akan
Anda lakukan? Sekali lagi, bagaimana cara Anda membuktikannya secara deduktif?
Didalam kehidupan nyata
sehari-hari pemanfaatan pembuktian tak langsung (indirect proof) sering
digunakan meskipun tidak disadari sebagai pembuktian tak langsung. Sebagai
contoh ketika Anda sedang asyik bembaca lalu tiba-tiba saja listrik mati.
Jika Anda ingin menentukan sumber matinya listrik tersebut, apa yang
akan Anda lakukan? Yang terpikir pertama kali adalah, penyebab matinya
listrik tersebut terletak di gardu dengan alasan: “jika listrik di gardu mati
maka listrik dirumah dan listrik tetangga akan mati juga” namun dengan melihat
listrik tetangga-tetangga yang masih hidup semua Anda akan menyimpulkan
bahwa penyebab matinya listrik tersebut adalah bukan di gardu
listriknya. Jadi sumber matinya listrik terletak di rumah sendiri.
Menurut Cooney, Davis, dan
Henderson (1975:313), pembuktian tak langsung adalah strategi yang sangat hebat
karena penalaran tersebut dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran hampir
semua pernyataan. Ketiganya (1975:313) menyatakan: “A special form of
indirect proof is reductio ad absurdum”. Borrowski dan Borwein
(1989:289) menyatakan bahwa : “Indirect proof is a common mathematical term
for reductio ad absurdum”. Bentuk reductio
ad absordum ini dikenal
juga sebagai penalaran melalui kontradiksi.
Untuk membuktikankebenarannya
pernyataan p, maka dimisalkan negasi atau ingkaran tersebut yang terjadi yaitu~p.
Lalu dibuktikan bahwa ~p ini mengarah kepada suatu kontradiksi. Karena ~p
mengarah kesuatu keadaan yang kontradiksi, maka pemisalan ~p dianggap
salah. Jadi, kesimpulan bahwa p benar seperti yang akan dibuktikan.
Contoh-contoh pembuktian tak langsung.
1. Buktikan
A
Bukti:
Misalkan A. Langkah ini
memisalkan ingkaran atau negasi yang akan dibuktikan, sehingga disebut
pembuktian tak langsung. Apa yang dapat Anda katakan tentang A? Pernyataan A, mengandung arti bahwa ada anggota himpunan
kosong yang tidak menjadi anggota himpunan A. Suatu keadaan yang tidak mungkin
terjadi, karena tidak mempunyai anggota. Dengan keadaan yang kontradiksi ini,
dapat disimpulkan bahwa pemisalan tadi bernilai salah. Artinya pernyataan A bernilai salah, yang benar adalah A.
Jika sekarang dimisalkan p = 2r
_ (2r)2 = 2q2 _ 4r2 = 2q2 _ q2 = 2p2Dengan argumen yang sama dengan yang diatas tadi dapatlah
disimpulkan bahwa q adalahbilangan asli genap, yang memiliki faktor 2 juga seperti p. Suatu
keadaan yang tidak masuk di akal sehat kita. Suatu keadaan yang kontradiksi. p
dan q pada tahap awal pembuktian dinyatakan tidak memiliki faktor persekutuan
selain 1, namun pada akhir pembuktian p dan q dinyatakan sama-sama memiliki
faktor persekutuan 2. Keadaan yang tidak masuk akal ini pada akhirnya
menunjukkan tentang salahnya pemisalan 2 sebagai bilangan rasional.
Kesimpulannya 2 bukan bilangan
rasional atau 2 merupakan bilangan irrasional. Dengan contoh di atas, jelaslah
kiranya bahwa pembuktian tak langsung (terbalik) adalah pembuktian dengan
pemisalan ingkaran pernyataan yang akan dibuktikan tadi sebagai hal yang benar,
namun dengan langkah-langkah yang logis, pemisalan ini mengarah ke suatu 20
keadaan yang kontradiksi, sehingga pemisalan tersebut dinyatakan sebagai hal
yang salah.Artinya negasi dari negasi pernyataan tersebut sebagai hal yang
benar. Kesimpulan akhirnya, pernyataan yang akan dibuktikan tersebut merupakan
pernyataan yang benar.
2.
Dengan
memengandaikan bahwa siswa sudah tahu kebenaran teorema Pythagoras;
buktikan kebenaran kebalikan
teorema Pythagoras, yaitu jika a, b, dan c merupakan ukuran sisi-sisi suatu segitiga
ABC yang memenuhi BC2 + AC2 = AB2, maka segitigaABC tersebut adalah segitiga
siku-siku di C.
Bukti:
Dimisalkan segitiga ABC
tersebut bukan segitiga siku-siku di C. Dengan demikian, C < 90o atau C >
90o seperti terlihat pada dua gambar di bawah ini.
Tarik segmen garis CD = CA dan
CD CB seperti terlihat di bawah ini Berdasar terorema Pythagoras akan didapat:
BD2 = BC2 + CD2. Padahal diketahui bahwa BC2 + AC2 = AB2. Dengan
demikian BD = AB.
Dengan demikian didapat dua
segitiga yang samakaki, yaitu ACD dan ABD. Akibatnya:
CDA = CAD ... 1)
BDA = DAB ... 2)
Pernyataan 1) dan 2) saling
bertentangan karena jika dilihat pada gambar sebelah kiri, yaitu
CDA = CAD pada pernyataan 1)
akan mengakibatkan BDA < CDA sedangkan
DAB > CAD, seingga tidaklah
mungkin BDA = DAB seperti dinyatakan pada
pernyataan 2).
Kesimpulannya, pemisalan bahwa
segitiga ABC bukan segitiga siku-siku di C adalah salah, sehingga didapat
segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku di C.
Pembuktian-pembuktian yang telah kita
bicarakan di atas, merupakan pembuktian yang langsung. Suatu argumen adalah
valid secara logis jika premis-premisnya bernilai benar dan konklusinya juga
bernilai benar.
Berdasarkan pemikiran ini, jika
premis-premis dalam suatu argumen yang valid membawa ke konklusi yang bernilai
salah, maka paling sedikit ada satu premis yang bernilai salah.
Cara pembuktian ini disebut pembuktian
tidak langsung atau pembuktian dengan kontradiksi atau reductio ad absurdum.
Contoh :
Premis
1 : Semua manusia tidak hidup kekal (Benar)
Premis
2 : Chairil Anwar adalah manusia (Benar)
Buktikan
bahwa “Chairil Anwar tidak hidup kekal” (premis 3) dengan melakukan
Pembuktian tidak langsung.
Bukti :
Kita
misalkan bahwa : Chairil Anwar hidup kekal (premis 4) (dan kita anggap bernilai
( benar
).
Maka
berarti : Ada manusia hidup kekal (premis 5).
Tetapi
premis 5 ini merupakan negasi dari premis 1. Yang sudah kita terima
Kebenarannya.
Oleh karena itu premis 5 ini pasti
bernilai salah.
Karena
premis 5 bernilai salah maka premis 4 juga bernilai salah. Sebab itu premis 3 Bernilai benar.
Jadi terbukti bahwa “Chairil Anwar tidak
hidup kekal”.
Ringkasannya,
kita dapat membuktikan bahwa suatu pernyataan bernilai benar, dengan
menunjukkan bahwa negasi dari pernyataan itu salah. Ini dilakukan dengan
menurunkan konklusi yang salah dari argumen yang terdiri dari negasi pernyataan
itu dan pernyataan atau pernyataan-pernyataan lain yang telah diterima
kebenarannya.
·
Aturan penukaran
Pada kenyataannya banyak
argument valid yang tidak dapat di buktikan kebenarannya hanya dengan
menggunakan aturan penarikan kesimpulan. Ini berarti kita membutuhkan aturan
lain selain aturan diatas. Aturan yang menunjang ini disebut aturan
penukaran (Rule of Replacements).
Dalam pembicaraan ekuivalensi,
kita telah mengetahui bahwa dua pernyataan disebut ekuivalen jika mempunyai
nilai kebenaran yang sama. Dengan demikian jika sebagian atau keseluruhan dari suatu pernyataan
majemuk ditukar dengan pernyataan lain yang ekuivalen secara logika, maka nilai
kebenaran pernyataan majemuk yang baru tersebut akan sama dengan nilai
kebenaran pernyataan majemuk semula. Aturan ini yang disebut aturan
penukaran. Aturan ini memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan suatu
pernyataan sebagai hasil dari penukaran semua atau sebagian dari suatu
pernyataan dengan pernyataan yang ekuivalen dengan bagian yang kita ganti.
Pernyataan-pernyataan diatas
yang saling ekuivalen, dapat saling mengganti satu sama lain. Artinya kita
dapat menukar pernyataan sebelah kiri dengan pernyataan disebelah kanan dan
sebaliknya.
Contoh :
Susunlah bukti formal validitas
argument berikut
( p Ú q) ⇒ ( r Ù s)
~ r
\~ q
Proses pembuktian validitas
argument diatas adalah sebagai berikut:
1. ( p Ú q) ⇒ ( r Ù s) Pr
2. ~ r Pr / \~ q
3. ~ r Ú ~ s 2, Add
4. ~ (r Ù s) 3, de M
5. ~ (p Ú q) 1,4 MT
6. ~ p Ù ~ q 5, de M
7. ~ q Ù ~ p 6, Kom
8. ~ q 7, Simp
·
Aturan pembuktian kondisional
Setiap argument yang valid
mempunyai pernyataan yang berkoresponden yang merupakan tautology. Dengan kata
lain sebuah argument yang berkorespondensi dengan sebuah pernyataan kondisional
adalah valid jika dan hanya jika pernyataan kondisional tersebut merupakan
tautology.
Jika kita mempunyai pernyataan
dalam bentuk A ⇒ (B ⇒ C), maka pernyataan terebut ekuivalen secara logika
dengan (A Ù B) ⇒ C (sesuai dengan prinsip Eksportasi). Jika pernyataan A ⇒ (B ⇒
C) adalah tautology maka pernyataan (A Ù B) ⇒ C adalah tautology juga, sebab
keduanya ekuivalen. Argumen yang berkoresponden dengan pernyataan A ⇒ (B ⇒ C)
adalah A \ B ⇒ C
Sedang argument yang
berkoresponden dengan pernyataan (A Ù B) ⇒ C adalah
A
B
\C
Kedua argument diatas valid,
jika pernyataan yang berkoresponden dengan argument tersebut masing-masing
merupakan tautology. Ini menunjukan bahwa jika kita akan membuktikan argument
A
\ B ⇒ C
maka kita dapat menarik
kesimpulan validitas argument tersebut dengan mengubahnya menjadi argument
dengan bentuk
A
B
\C
Aturan ini disebut Aturan
Pembuktian Kondisional (Rule of Conditional Proof). Dengan menggunaan
aturan ini kita memperoleh premis tambahan yang diperoleh dari anteseden
konklusinya dan konsekuen pada konklusi diubah menjadi konklusi yang baru.
BAB III
PENUTUP
III.1 Kesimpulan
Argumen adalah
mencari kebenaran dari suatu pernyataan berupa kesimpulan, dengan berdasarkan
pada kebenaran dari satu kumpulan pernyataan yang disebut premis-premis Argumen
artinya sekumpulan pernyataan yang terdiri dari premis-premis dan diikuti satu
kesimpulan.
Adapun Pembuktian keabsahan suatu
bentuk argument yang mengandung banyak variable melalui tabel nilai adalah
kurang praktis. Lagi pulas, cara yang demikian tidak akan memupuk pandangan
kita tentang hubungan antara argumemn-argumen, hal ini dikarenakan cara ter
sebut hanya bekerja sebagai mesin tanpa menambah pengetahuan, mislnya untuk
pembuktian suatu argument yang terdiri dari 5 variabel, kita memerlukan. Table
yang besar yang memuat 25 = 32g baris. Sungguh merupakan
suatu pekerjaan yang amat menjemukan untuk memerikasa keabsahan aragumen itu
baris demi baris.
Serta argumen juga dapat dilakukan
dengan menggunakan pembuktian langsung dan tidak langsung, dan aturan-aruran
yang telah ada.
III.2 SARAN
Demikianlah makalah yang kami susun
semoga dapat bermanfaat bagi pembaca serta bias memahami mengenai bentuk-bentuk
argumen dengan membaca informasi-informasi dari buku yang ada
DAFTAR
PUSTAKA
·
Sumber: Kusumah, YS. (1986). Logika
Matematika Elemnter. Bandung: TARSITO.
Kepulauan Riau Time
Indonesian Rupiah Converter