Makalah Bentuk Argumen Logika Matematika

MAKALAH

BENTUK-BENTUK ARGUMEN

Makalah ini Diajukan sebagai Pemenuhan Tugas

Mata Kuliah Logika Matematika

                                              

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga berhasil menyelesaikan makalah yang berjudul “Bentuk-Bentuk Argumen”.

Makalah ini disusun agar pembaca dapat mengetahui apa saja bentuk-bentuk dari Argumen serta contohnya. dan dapat menjadikan panutan belajar bagi pembaca. Serta menjadikan suatu pengetahuan  yang bermanfaat bagi pembaca yang membacanya.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah banyak membantu penulis agar dapat menyelesaikan makalah ini.

            Semoga makalah ini bisa memberikan wawasan serta infornmasi yang lebih luas kepada pembaca.walaupun makalah ini memiliki kelebihan dan kekurangan. Penulis mohon untuk saran dan kritiknya. Terima kasih.

        Batam, 10 Januari 2012

                                                                                                       Penulis

                                                DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL................................................................................................             i

KATA PENGANTAR.............................................................................................               ii

DAFTAR ISI............................................................................................................             iii

BAB I   PENDAHULUAN

I.1  Latar Belakang......................................................................................            1

I.2  Rumus Masalah....................................................................................             2

I.3  Manfaat.................................................................................................            2

BAB II  PEMBAHASAN  

II.1 Pengertian Argumen.............................................................................              3

II.2 Bukti formal,keabsahan Argumen........................................................                9

II.3 Bukti langsung dan bukti tak langsung................................................                  20

BAB III PENUTUP

III.1 Kesimpulan.........................................................................................             31

III.2 Saran...................................................................................................            31

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang

         Logika berasal dari bahasa Yunani “logos”. Dalam bhs. Inggris berarti “word”, “speech” atau “what is spokeAn”

Definisi Logika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari atau berkaitan dengan prinsip-prinsip dari penalaran argumen yang valid.

    

Logika sebagai salah satu ilmu formal, atau satu bidang ilmu yang bisa berdiri sendiri, dapatdigunakan untuk mengevaluasi dan mengelompokkan struktur dari argumen-argumen dan pernyataan-pernyataan yang diperoleh dari studi tentang pengaruh formal sistem dan melaluistudi tentang argumen pada bahasa manusia sehari-hari. Jadi cakupan logika memang sangatluas, sejak dari studi tentang fallacies dan

paradoksparadok( paradoxes)keanalisis penalaran yang akanmengoreksi penalaran secara benar dan argumen-argumen yang berhubungan dengan sebab-akibat.Studi logika sebenarnya juga adalah suatu usaha untuk menentukan kondisi, di mana sesuatudiambil dari pernyataan-pernyataan yang diberikan, dan disebut premis-premis (premises),untuk memperoleh suatu kesimpulan (conclusion) yang harus mengikuti atau sesuai dengan premis-premis tersebut.

Jadi, inilah yang sebenarnya disebut argumen, yakni suatu usaha untuk mencari kebenarandari suatu pernyataan berupa kesimpulan dengan berdasarkan pada kebenaran dari satukumpulan pernyataan yang disebut premis-premis. Bentuk argumen artinya sekumpulan pernyataan yang terdiri dari premis-premis dan diikuti satu kesimpulan.

I.2 Rumusan Masalah

·      Apakah pengertian dari Argumen ?

·      Bentuk-bentuk Argumen serta contohnya

I.3 Manfaat

Adapun manfaat dari  makalah ini adalah :

·      Pembaca dapat memahami  defenisi dari argument itu sendiri melalui contoh.

·      dapat mengetahui bentuk – bentuk dari Argumen, beserta contohnya.

·      Dapat menjadi panutan belajar mengajar bagi siswa maupun guru

BAB II

PEMBAHASAN

II.1 Argumen

       Argumen adalah mencari kebenaran dari suatu pernyataan berupa kesimpulan, dengan berdasarkan pada kebenaran dari satu kumpulan pernyataan yang disebut premis-premis Argumen artinya sekumpulan pernyataan yang terdiri dari premis-premis dan diikuti satu kesimpulan.

Contoh :

1. semua mahasiswa pandai

    Badu adalah mahasiswa

   dengan demikian, badu pandai

2. semua manusia bermata empat

    Badu seorang manusia

   dengan demikian, badu bermata empat

Argumen juga merupakan serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan    pernyataan penarikan kesimpulan. Argumen terdiri dari pernyataan-pernyataan yang terbagi atas dua kelompok, yakni kelompok pernyataan sebelum kata “jadi”, yang disebut premis-premis, dan kelompok lain yang hanya terdiri atas satu pernyataan dinamakan konklusi. Yang dimaksud dengan konklusl suatu argument ialah pernyataan yang ditegaskan berdasarkan pernyataan lainnya, sedangkan pernyataan-pernyataan  lainnya itu yang dianggap sebagai yang memberikan alasan untuk memerima konklusi tersebut adalah premis-premis dari argumaen itu. Penarikan keseluhannya disebut suatu pennyimpulan atau suatu penarikan kesimpulan.   

Contoh argumen:

Jika Opan seorang insinyur, maka Opan bisa memperbaiki mesin.

Opan seorang insinyur.

Jadi, Opan bisa memperbaiki mesin.

Kalimat (pernyataan) yang berwarna biru disebut sebagai premis, sedangkan kalimat yang berwarna merah disebut sebagai konlusi. Argumen di atas bisa juga dinyatakan dalam bentuk simbol-simbol seperti di bawah ini.

S: opan seorang insyur

m: Opan bisa memperbaiki mesin

s → m

s

Jadi, m

Selain dalam bentuk simbol-simbol, argumen bisa juga dinyatakan dalam pernyataan kondisional (pernyataan majemuk implikasi). Contoh di atas jika dinyatakan dalam pernyataan kondisional akan menjadi seperti berikut.

[(s → m) ^ s] → m

Untuk membuktikan bahwa argumen di atas valid (sah), harus dicari nilai kebenaran pernyataan kondisional dari argumen tersebut. Jika pernyataan kondisional yang bersesuaian dengan argumen tersebut meruapakan tautologi, maka argumen tersebut merupakan argumen yang valid (sah).

Proposisi : pernyataan yang bernilai benar atau salah yang bisa dihubungkan dengan logika. Pernyataan seperti ini

Iinferensi:  metode penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi

ATURAN INFERENSI

Aturan	Inferensi
Modus Ponen	p ® q p	}	\  q
Modus Tolen	p ® q ~q	}	\ ~p
Penambahan Disjungsi	p	}	\  p Ú q	Q	}	\ p Ú q
Penambahan Konjungsi	p Ù q	}	\  p	p Ù q	}	\  q
Silogisme Disjungsi	p Ú q ~p	}	\  q	p Ú q ~q	}	\  p
Silogisme Hipotesis	p ® q q ® r	}	\  p ® q
Dilema	p Ú q p ® r q ® r	}	\  r
Konjugasi	p q	}	\  p Ù q

Langkah Penyelesaian :

1.Argumentasi

2.Tentukan Proposisi

3.Tentukan Fakta

4.Gunakan Aturan Inferensi

5.Kesimpulan

ARGUMENTASI

a.

r Ú s

p ® q

Jika kacamataku ada di dapur, maka aku pasti sudah melihatnya ketika sarapan pagi.

b.Aku mambaca Koran di ruang tamu atau aku membacanya di dapur.

c.

~q

r ® t

Jika aku membaca Koran di ruang tamu, maka pastilah kacamata kuletakkan di meja tamu.

d.                        Aku tidak melihat kacamataku pada waktu sarapan pagi.

e.

u ® v

Jika aku membaca buku di ranjang, maka kacamata ku letakkan di meja samping ranjang.

f.

s ® p

Jika aku membaca Koran di dapur, maka kacamataku ada di meja dapur.

Berdasarkan Fakta-fakta yang ada, tetukan letak kacamata!

PROPOSISI

P	Kacamata ada di meja dapur.
Q	Aku melihat kacamataku ketika sarapan pagi.
R	Aku membaca Koran di ruang tamu.
S	Aku membaca Koran di dapur.
T	Kacamata ku letakkan di meja tamu.
U	Aku membaca buku di ranjang.
V	Kacamata ku letakkan di meja samping ranjang.

FAKTA

A	p ® q
B	r Ú s
C	r ® t
D	~q
E	u ® v
F	s ® p

Penyelesaian :

~p p ® q

r ~s r Ú s

t r ® t

~q

u ® v

s ® p

Modus Tolen	p ® q ~q	}	\ ~p
Modus Tolen	s ® p ~p	}	\ ~s
Silogisme Disjungsi	r Ú s ~s	}	\  r
Modus Ponen	r ® t r	}	\  t

Kesimpulan :      t         

                                   Kacamata kuletakkan dimeja tamu.

Proposisi :           Kalimat deklaratif yang bernilai salah atau benar.

Contoh  :           2+2=4 ………. Deklaratif            

                           X+3=5………. Bukan Deklaratif

                           X+4=5………. Bukan Deklaratif

·   Validitas argument

Validitas argumen adalah premis-premis yang diikuti oleh suatu kesimpulan yang berasal dari premis-premisnyai dan bernilai benar.

Jika salah satu atau lebih premis-premisnya salah, maka kesimpulan dari argumen tersebut juga salah, Tidak mungkin kesimpulan yang salah dari premis-premis yang benar, atau premis-  premis yang benar tidak mungkin menghasilkan kesimpulan yang salah.

Contoh :

1. semua mamalia adalah hewan berkaki 4

             semua manusia adalah mamalia

            dengan demikian, semua manusia adalah binatang berkaki empat.

            Ini adalah argumen yang valid, tetapi premis yang pertama bernilai salah. Argumen diatas tetap valid karena kesimpulannya tetap mengikuti premis – premisnya. Ini disebut dengan Tautologi (tautology)atau valid kebenarannya secara fungsional.

Contoh :                          

2. ada jenis mahkluk hidup berkaki dua

             semua manusia adalah mahkluk hidup

             dengan demikian, semua manusia berkaki dua.

            Argumen diatas tidak valid, tapi menghasilkan kesimpulan yang benar meskipun tidak mengikuti premis-premisnya, Jadi logika hanya mempermasalahkan bentuk dari argumen bukan isi argumen.Jika argumen valid, maka pokok pernyataan dapat digantikan untuk semua yang bisa digantikannya dan validitas tidak terganggu. Akan tetapi, jika argumen tidak valid, maka akan menganggu. ,

jika “berkaki dua” diganti “berkaki empat”, maka membuat premis-premis bernilai benar, tetapi kesimpulan salah.Validitas yang logis adalah hubangan antara premis-premis dengan kesimpulan memastikan bahwa jika premis-premis benar, maka harus diikuti dengan kesimpulan yang benar, yangdiperoleh dengan mengunakan aturan-aturan logika. Kesimpulan juga harus berasal dari premis-premisnya.Argumen logis disebut kuat secara logis, jika dan hanya jika argumenya valid dan semua premis-premisnya bernilai benar.Suatu argument logis dapat disebut kuat (sound) jika dan hanya jika memenuhi dua persyaratan berikut :(a). Argumen valid(b). Semua premis-premisnya benar.

II.2 Bukti formal, keabsahan argument

         Pembuktian keabsahan suatu bentuk argument yang mengandung banyak variable melalui tabel nilai adalah kurang praktis. Lagi pulas, cara yang demikian tidak akan memupuk pandangan kita tentang hubungan antara argumemn-argumen, hal ini dikarenakan cara ter sebut hanya bekerja sebagai mesin tanpa menambah pengetahuan, mislnya untuk pembuktian suatu argument yang terdiri dari 5 variabel, kita memerlukan. Table yang besar yang memuat 2⁵ = 32g baris. Sungguh merupakan suatu pekerjaan yang amat menjemukan untuk memerikasa keabsahan aragumen itu baris demi baris.

Ada suatu cara yang lebih baik dan lebih singkat, disampinng suatu cara mendidik, yaitukita lakukan tes keaabsahan tersebut melalui sekumpulan argument-argumen kecil yang skemanya terlebih dahulu kita kuasai.

BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN

           Bukti keabsahan argumen dapat melalui:

1. Tabel Kebenaran

    2.  Aturan Penyimpulan

       Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya sedikit bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk argumen yang premis-premisnya kompleks harus menggunakan aturan-aturan yang ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan.

Contoh:

Buktikan keabsahan argument:

1.  1. p à q                                                                     

 2.~ q / \~p

2.  1. a à b

    2. c à d

3.  ( ~b v ~d ) Ù ( ~a v ~b )/ \~a v ~c

Bukti:

Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran

P	q	~p	~q	p àq	q   [( p àq) Ù ~q]	[(p àq) Ù ~q] à ~p
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B

Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan tautologi, maka argumen sah:

Soal no. 2 menggunakan aturan penyimpulan

      1. a à b

      2. c à d

3.   ( ~b v ~d ) Ù ( ~a v ~b )/ \~a v ~c

4.   ( a à b ) Ù ( c à d )   1,2 Conj

5.   ( ~b v ~d )                   3, Simpl

6.   ~ a v ~c                      4,5 DD

Keabsahan semua bentuk argument diatas dapat diperiksa dengan memakai table nilai seperti dikemukakan sebelumnya, namun dapat pula dilihat semua bentuk itu tidak lain dari pada tautology.

Ambil misalnya modus ponens. Bentuk argument ini tidak lain dari pada bentuk tautology (<p  Þ q) &  p Þq. bentuk contruction dilemma (cd) tidak lain dari pada tautology:  <p  Þ q) &  p Þq. (r Þ s) & (q Ú s).  Þ  (q Ú s).  dan seterusnya.

·         Premis dan Argumen

Logika berkenaan dengan penalaran yang dinyatakan dengan pernyataan verbal. Suatu diskusi atau pembuktian yang bersifat matematik atau tidak, terdiri atas pernyataan-pernyataan yang saling berelasi. Biasanya kita memulai dengan pernyataan-pernyataan tertentu yang diterima kebenarannya dan kemudian berargumentasi untuk sampai pada konklusi (kesimpulan) yang ingin dibuktikan.

Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.

Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan dari premis-premis.

·         Validitas Pembuktian (I)

 Selayaknya diturunkan dari premis-premis atau premis-premis selayaknya mengimplikasikan konklusi, dalam argumentasi yang valid, konklusi akan bernilai benar jika setiap premis yang digunakan di dalam argumen juga bernilai benar. Jadi validitas argumen tergantung pada bentuk argumen itu dan dengan bantuan tabel kebenaran.

 Kebenaran yang digeluti oleh para matematikawan adalah kebenaran relatif.    Benar atau salahnya suatu konklusi hanya dalam hubungan dengan sistem aksiomatik tertentu. Konklusi itu benar jika mengikuti hukum-hukum logika yang valid dari aksioma-aksioma sistem itu, dan negasinya adalah salah.

Untuk menentukan validitas suatu argumen dengan selalu mengerjakan tabel kebenarannya tidaklah praktis. Cara yang lebih praktis banyak bertumpu pada tabel kebenaran dasar dan bentuk kondisional. Bentuk argumen yang paling sederhana dan klasik adalah Modus ponens dan Modus tolens.

1.      Modus Ponen

      Premis 1          : p Þ q

      Premis 2          : p

      Konklusi          : q

      Cara membacanya : Apabila diketahui jika p maka q benar, dan p benar, disimpulkan q benar. (Notasi : Ada yang menggunakan tanda \ untuk menyatakan konklusi, seperti p Þ q, p \ q)

Contoh :

1. Premis 1            : Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (benar)

    Premis 2            : Saya belajar (benar)

    Konklusi            : Saya lulus ujian (benar)

      Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi) menunjukkan validitas dari bentuk argumen modus ponen.

  2.Jika hujan mengguyur jalanan, maka jalanan akan basah Hujan mengguyur jalanan.
     Jadi, jalanan akan basah.

Dalam bentuk simbol menjadi

p→q
   p
  ________
   Jadi, q  Argumen di atas merupakan argumen yang valid (sah). Inilah yang dinamakan modus ponen          

2.       Modus Tolen :

   Premis 1          : p Þ q

   Premis 2          : ~ q

   Konklusi          : ~ p

  

Contoh :

        Premis 1 :  Jika hari hujan maka saya memakai jas hujan (benar)

        Premis 2 :  Saya tidak memakai jas hujan (benar)

              Konklusi :  Hari tidak hujan (benar)

   Perhatikan bahwa jika p terjadi maka q terjadi, sehingga jika q tidak terjadi maka p tidak terjadi.

Contoh:

Jika hujan mengguyur jalanan, maka jalanan akan basah.
Jalanan tidak basah.
Jadi, hujan tidak mengguyur jalanan.

Dalam bentuk simbol menjadi

p→q
~q
________
Jadi, ~p

Bentuk ini dinamakan modus tollen. Tollen berasal dari bahasa Latin “tollere”, yang berarti menyangka.

3.       Silogisma (Hypothetical Sylogism):

               Premis 1          : p Þ q

               Premis 2          : q Þ r

               Konklusi          : p Þ r

Contoh :

       Premis 1 :  Jika kamu benar, saya bersalah (B)

       Premis 2 :  Jika saya bersalah, saya minta maaf (B)

       Konklusi :  Jika kamu benar, saya minta maaf (B)

Jika Kita buang sampah tidak sembarangan, maka lingkungan akan bersih
Jika lingkungan bersih, maka hidup akan lebih nyaman.
Jadi, Jika Kita buang sampah tidak sembarangan, maka hidup akan lebih nyaman.

Dalam bentuk simbol-simbol, argumen di atas akan menjadi

p → q
q → r
___________
Jadi, p → r

Bentuk ini dinamakan silogisme atau lebih tepatnya Hypothetical Sylogism. Argumen yang merupakan bentuk modus ponen, modus tollen, dan silogisme merupakan argumen yang valid (sah).

·      Silogisma Disjungtif

   Premis 1 :  p Ú q

   Premis 2 :  ~ q

   Konklusi :  p

Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid.

  

            Premis 1 :  p ∨ q

            Premis 2 :  q

            Konklusi :  ~ p

Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar (disjungsi eksklusif), maka sillogisma disjungtif di atas adalah valid.

Contoh :

                        1. Premis 1      : Pengalaman ini berbahaya atau membosankan (B)

                            Premis 2      : Pengalaman ini tidak berbahaya (B)

                            Konklusi      : Pengalaman ini membosankan (B)

                        2. Premis 1      : Air ini panas atau dingin (B)

                            Premis 2      : Air ini panas (B)

                            Konklusi      : Air ini tidak dingin (B)

                        3. Premis 1      : Obyeknya berwarna merah atau sepatu

                            Premis 2      : Obyek ini berwarna merah

                            Konklusi      : Obyeknya bukan sepatu (tidak valid)

4.       Konjungsi

            Premis 1 :  p

            Premis 2:  q

            Konklusi :  p Ù q

                  Artinya : p benar, q benar. Maka p Ù q benar.

5 .Tambahan (Addition)

   Premis 1          : p

   Konklusi          : p Ú q

         Artinya : p benar, maka p Ú q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q).

             Dua bentuk argumen valid yang lain adalah Dilema Konstruktif dan Dilema Destruktif.

5.       Dilema Konstruktif

   Premis 1 :  (p Þ q) Ù (r Þ s)

   Premis 2:  p Ú  r

   Konklusi:  q Ú  s

        Dilema konstruktif ini merupakan kombinasi dua argumen modus ponen (periksa argumen modus ponen).

Contoh :

Premis 1 : Jika hari hujan, aku akan tinggal di rumah; tetapi jika pacar datang, aku              

                       Pergi berbelanja.

Premis 2 : Hari ini hujan atau pacar datang.

Konklusi             : Aku akan tinggal di rumah atau pergi berbelanja.

·         Dilema Konstruktif :

   Premis 1  :  (p Þ q) Ù (r Þ s)

   Premis 2  :  ~ q Ú ~ s

   Konklusi :  ~ p Ú ~ r

Dilema destruktif ini merupakan kombinasi dari dua argumen modus tolens (perhatikan argumen modus tolen).

Contoh :

Premis 1 :  Jika aku memberikan pengakuan, aku akan digantung; dan jika aku tutup mulut, aku

                  Akan ditembak mati.

Premis 2 :  Aku tidak akan ditembak mati atau digantung.

Konklusi :  Aku tidak akan memberikan pengakuan, atau tidak akan tutup mulut.

·                     Validitas Pembuktian (II)(Hanya untuk pengayaan)

Sekarang kita akan membicarakan pembuktian argumen yang lebih kompleks dengan menggunakan bentuk-bentuk argumen valid di atas.

           

Contoh :

Diberikan argumen :  (p Ù  q) Þ [p Þ (s Ù  t)]

                                      (p Ù  q) Ù  r

                                         s Ú 

·                     Apakah argumen di atas valid ?

Jawab :

Berikut ini adalah langkah-langkah pembuktian yang dilakukan

            (p Ù  q) Þ [p Þ (s Ù  t)                            Premis

            (p Ù  q) Ù  r                                               Premis

            p Ù  q                                                         2, Penyederhanaan

            p Þ (s Ù  t)                                              1, 3, Modus Ponen

            p                                                               3, Penyederhanaan

            s Ù  t                                                         4, 5, Modus Ponen

            s                                                                6, Penyederhanaan

            \ s Ú  t                                                    7, Tambahan

Jadi argumen tersebut di atas adalah absah (valid).

           

Jika pengetahuan logika diperlukan atau pengetahuan aljabar diperlukan, maka semua orang akan belajar matematika. Pengetahuan logika diperlukan dan pengetahuan geometri diperlukan. Karena itu semua mahasiswa akan belajar matematika. Validkah argumentasi di atas ?

Jawab :

Kita akan menerjemahka argumen- argumen di atas ke bentuk simbol-simbol.

            Misal :    l        = pengetahuan logika diperlukan,

                           a       = pengetahuan aljabar diperlukan,

                           m      = Semua orang akan belajar matematika,

                           g       = pengetahuan geometri diperlukan.

            Maka :

                        (l Ú a) Þ m                                    Premis

                        l Ù  g                                               Premis

                        l                                                      2, Penyederhanaan

                        l Ú a                                                3, Tambahan

                        \ m                                                1, 4, Modus Ponen

            Jadi argumen di atas adalah valid.

           

Demikianlah, kita dapat membuktikan argumen - argumen yang tampaknya berbelit-belit dengan menggunakan argumentasi valid yang telah kita miliki. Perhatikan baik-baik cara menerjemahkan argumentasi itu menjadi simbol-simbol.

II.3      Bukti Langsung Dan Bukti Tak Langsung

Matematika dikenal sebagai mata pelajaran yang bersifat deduktif aksiomatis. Hal ini telah diterima kebenarannya seperti postulat atau aksioma, maupun teorema lain yang telah dibuktikan kebenarannya seperti dalil atau rumus. Sebagai akibatnya, peran bukti menjadimenunjukkan bahwa suatu pengetahuan baru merupakan akibat dari pernyataan lain yang sangat penting dalam matematika.

Bukti (proof) adalah argumen dari suatu premis ke suatu kesimpulan yang dapat meyakinkan orang lain agar dapat menerima kesimpulan baru tersebut. Karenanya, pembuktian dalam matematika harus didasarkan pada dua hal yang sangat penting. Yang pertama pembuktian ituharus didasarkan pada pernyataan serta definisi yang jelas. Yang kedua,  pembuktian tersebut harus didasarkan pada prosedur penarikan kesimpulan yang valid. Dikenal dua prosedur pembuktian, yaitu bukti langsung (direct proof) dan bukti tak langsung (indirect proof).

a.      Pembuktian Langsung

Sekali lagi, pembuktian langsung ini dilakukan untuk meyakinkan orang lain tentangkebenaran suatu pernyataan. Pembuktian langsung biasanya menggunakan sillogisma berbentuk p _ q, q _ r, r _ s, … , y _ z sehingga disimpulkan p _ z seperti yang harus dibuktikan.

Contoh:

1.      Buktikan bahwa jika a + c = b + c, maka a = b

Bukti :

a + c = b + c [diketahui]

(a + c) + (– c) = (b + c) + (– c) [menambah kedua ruas dengan – c]

[a + {c + (– c)}] = [b + {c + (– c)}] [assosiatif]

a + 0 = b + 0 [invers]

a = b [identitas penjumlahan]

Pembuktian langsung di atas menunjukkan bahwa dimulai dengan a + c = b + c dan dengan langkah yang runtut, sesuai dengan aksioma yang ada, pada akhirnya akan didapat a = b. Hal terseut menunjukkan juga bahwa dari suatu pernyataan dapat dibuktikan pernyataan lain yang jika pernyataan awalnya (a + c = b + c) bernilai benar akan didapat pernyataan lain (a = c)yang tidak mungkin bernilai salah. Teorema atau dalil tersebut dapat digunakan untuk membentuk pernyataan, rumus, teorema atau dalil lainnya.

2.       Buktikan bahwa jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180^o.

Bukti:

Misalkan segitiga ABC-nya adalah seperti gambar dibawah ini

18

Jika ditarik garis l // AB, akan didapat gambar seperti di kanan atas. Dengan menggunakan teorema atau dalil tentang dua garis sejajar yang dipotong garis lain, akan didapat:

A2 = C1 (dalam berseberangan)

B1 =C3 (dalam berseberangan)

Karena jumlah besar sudut-sudut segitiga ABC adalah

A2 + B1 + C2=

C1 + C3 + C2 = 180^o

Besar sudut 180^o ini didapat dari definisi bahwa sudut lurus besarnya 180^o. Dengan demikian terbuktilah bahwa jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180^o. Pembuktian ini dilakukan dengan runtut, dimulai dari segitiga ABC, lalu dengan menggunakan dalil ataupun teorema yang sudah dibuktikan kebenarannya serta definisi yang sudah ditentukan; dan diakhiri dengan kesimpulan yang menunjukkan tentang jumlah besar sudut-sudut suatu seperti yang diharapkan.

b. Pembuktian Tak Langsung

Jika Anda diminta untuk membuktikan secara deduktif seperti yang sering digunakan di matematika bahwa bendera putih dengan bulatan merah bukanlah bendera Indonesia, apa yang akan Anda lakukan? Sekali lagi, bagaimana cara Anda membuktikannya secara deduktif?

Didalam kehidupan nyata sehari-hari pemanfaatan pembuktian tak langsung (indirect proof) sering digunakan meskipun tidak disadari sebagai pembuktian tak langsung. Sebagai contoh ketika Anda sedang asyik bembaca lalu tiba-tiba saja listrik mati. Jika Anda ingin menentukan sumber matinya listrik tersebut, apa yang akan Anda lakukan? Yang terpikir pertama kali adalah, penyebab matinya listrik tersebut terletak di gardu dengan alasan: “jika listrik di gardu mati maka listrik dirumah dan listrik tetangga akan mati juga” namun dengan melihat listrik tetangga-tetangga yang masih hidup semua Anda akan menyimpulkan bahwa penyebab matinya listrik tersebut adalah bukan di gardu listriknya. Jadi sumber matinya listrik terletak di rumah sendiri.

Menurut Cooney, Davis, dan Henderson (1975:313), pembuktian tak langsung adalah strategi yang sangat hebat karena penalaran tersebut dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran hampir semua pernyataan. Ketiganya (1975:313) menyatakan: “A special form of indirect proof is reductio ad absurdum”. Borrowski dan Borwein (1989:289) menyatakan bahwa : “Indirect proof is a common mathematical term for reductio ad absurdum”. Bentuk reductio

ad absordum ini dikenal juga sebagai penalaran melalui kontradiksi.

Untuk membuktikankebenarannya pernyataan p, maka dimisalkan negasi atau ingkaran tersebut yang terjadi yaitu~p. Lalu dibuktikan bahwa ~p ini mengarah kepada suatu kontradiksi. Karena ~p mengarah kesuatu keadaan yang kontradiksi, maka pemisalan ~p dianggap salah. Jadi, kesimpulan bahwa p benar seperti yang akan dibuktikan.

Contoh-contoh pembuktian tak langsung.

1.      Buktikan A

Bukti:

Misalkan A. Langkah ini memisalkan ingkaran atau negasi yang akan dibuktikan, sehingga disebut pembuktian tak langsung. Apa yang dapat Anda katakan tentang  A? Pernyataan  A, mengandung arti bahwa ada anggota himpunan kosong yang tidak menjadi anggota himpunan A. Suatu keadaan yang tidak mungkin terjadi, karena tidak mempunyai anggota. Dengan keadaan yang kontradiksi ini, dapat disimpulkan bahwa pemisalan tadi bernilai salah. Artinya pernyataan  A bernilai salah, yang benar adalah A.

Jika sekarang dimisalkan p = 2r _ (2r)2 = 2q2 _ 4r2 = 2q2 _ q2 = 2p2Dengan argumen yang  sama dengan yang diatas tadi dapatlah disimpulkan bahwa q adalahbilangan asli genap, yang  memiliki faktor 2 juga seperti p. Suatu keadaan yang tidak masuk di akal sehat kita. Suatu keadaan yang kontradiksi. p dan q pada tahap awal pembuktian dinyatakan tidak memiliki faktor persekutuan selain 1, namun pada akhir pembuktian p dan q dinyatakan sama-sama memiliki faktor persekutuan 2. Keadaan yang tidak masuk akal ini pada akhirnya menunjukkan tentang salahnya pemisalan 2 sebagai bilangan rasional.

Kesimpulannya 2 bukan bilangan rasional atau 2 merupakan bilangan irrasional. Dengan contoh di atas, jelaslah kiranya bahwa pembuktian tak langsung (terbalik) adalah pembuktian dengan pemisalan ingkaran pernyataan yang akan dibuktikan tadi sebagai hal yang benar, namun dengan langkah-langkah yang logis, pemisalan ini mengarah ke suatu 20 keadaan yang kontradiksi, sehingga pemisalan tersebut dinyatakan sebagai hal yang salah.Artinya negasi dari negasi pernyataan tersebut sebagai hal yang benar. Kesimpulan akhirnya, pernyataan yang akan dibuktikan tersebut merupakan pernyataan yang benar.

2.        Dengan memengandaikan bahwa siswa sudah tahu kebenaran teorema Pythagoras;

buktikan kebenaran kebalikan teorema Pythagoras, yaitu jika a, b, dan c merupakan ukuran sisi-sisi suatu segitiga ABC yang memenuhi BC2 + AC2 = AB2, maka segitigaABC tersebut adalah segitiga siku-siku di C.

Bukti:

Dimisalkan segitiga ABC tersebut bukan segitiga siku-siku di C. Dengan demikian, C < 90o atau C > 90o seperti terlihat pada dua gambar di bawah ini.

Tarik segmen garis CD = CA dan CD CB seperti terlihat di bawah ini Berdasar terorema Pythagoras akan didapat: BD2 = BC2 + CD2. Padahal diketahui bahwa BC2 + AC2 = AB2. Dengan demikian BD = AB.

Dengan demikian didapat dua segitiga yang samakaki, yaitu ACD dan ABD. Akibatnya:

CDA = CAD ... 1)

BDA = DAB ... 2)

Pernyataan 1) dan 2) saling bertentangan karena jika dilihat pada gambar sebelah kiri, yaitu

CDA = CAD pada pernyataan 1) akan mengakibatkan BDA < CDA sedangkan

DAB > CAD, seingga tidaklah mungkin BDA = DAB seperti dinyatakan pada

pernyataan 2).

Kesimpulannya, pemisalan bahwa segitiga ABC bukan segitiga siku-siku di C adalah salah, sehingga didapat segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku di C.

Pembuktian-pembuktian yang telah kita bicarakan di atas, merupakan pembuktian yang langsung. Suatu argumen adalah valid secara logis jika premis-premisnya bernilai benar dan konklusinya juga bernilai benar.

Berdasarkan pemikiran ini, jika premis-premis dalam suatu argumen yang valid membawa ke konklusi yang bernilai salah, maka paling sedikit ada satu premis yang bernilai salah.

Cara pembuktian ini disebut pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kontradiksi atau reductio ad absurdum.

Contoh :

                        Premis 1 : Semua manusia tidak hidup kekal (Benar)

                        Premis 2 : Chairil Anwar adalah manusia (Benar)

                        Buktikan bahwa “Chairil Anwar tidak hidup kekal” (premis 3) dengan melakukan              

                     Pembuktian tidak langsung.

Bukti :

 Kita misalkan bahwa : Chairil Anwar hidup kekal (premis 4) (dan kita anggap bernilai    

                                       ( benar ).

            Maka berarti      : Ada manusia hidup kekal (premis 5).

            Tetapi premis 5 ini merupakan negasi dari premis 1. Yang sudah kita terima   

         Kebenarannya.

Oleh karena itu premis 5 ini pasti bernilai salah.

            Karena premis 5 bernilai salah maka premis 4 juga bernilai salah. Sebab itu premis 3       Bernilai benar.

Jadi terbukti bahwa “Chairil Anwar tidak hidup kekal”.

            Ringkasannya, kita dapat membuktikan bahwa suatu pernyataan bernilai benar, dengan menunjukkan bahwa negasi dari pernyataan itu salah. Ini dilakukan dengan menurunkan konklusi yang salah dari argumen yang terdiri dari negasi pernyataan itu dan pernyataan atau pernyataan-pernyataan lain yang telah diterima kebenarannya.

·        Aturan penukaran

Pada kenyataannya banyak argument valid yang tidak dapat di buktikan kebenarannya hanya dengan menggunakan aturan penarikan kesimpulan. Ini berarti kita membutuhkan aturan lain selain aturan diatas. Aturan yang menunjang ini disebut aturan penukaran (Rule of Replacements).

Dalam pembicaraan ekuivalensi, kita telah mengetahui bahwa dua pernyataan disebut ekuivalen jika mempunyai nilai kebenaran yang sama. Dengan demikian jika sebagian  atau keseluruhan dari suatu pernyataan majemuk ditukar dengan pernyataan lain yang ekuivalen secara logika, maka nilai kebenaran pernyataan majemuk yang baru tersebut akan sama dengan nilai kebenaran pernyataan majemuk semula. Aturan ini yang disebut aturan penukaran. Aturan ini memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan suatu pernyataan sebagai hasil dari penukaran semua atau sebagian dari suatu pernyataan dengan pernyataan yang ekuivalen dengan bagian yang kita ganti.

Pernyataan-pernyataan diatas yang saling ekuivalen, dapat saling mengganti satu sama lain. Artinya kita dapat menukar pernyataan sebelah kiri dengan pernyataan disebelah kanan dan sebaliknya.

Contoh :

Susunlah bukti formal validitas argument berikut

( p Ú q) ⇒ ( r Ù s)

~ r

\~ q

Proses pembuktian validitas argument diatas adalah sebagai berikut:

1. ( p Ú q) ⇒ ( r Ù s) Pr

2. ~ r Pr / \~ q

3. ~ r Ú ~ s 2, Add

4. ~ (r Ù s) 3, de M

5. ~ (p Ú q) 1,4 MT

6. ~ p Ù ~ q 5, de M

7. ~ q Ù ~ p 6, Kom

8. ~ q 7, Simp

·        Aturan pembuktian kondisional

Setiap argument yang valid mempunyai pernyataan yang berkoresponden yang merupakan tautology. Dengan kata lain sebuah argument yang berkorespondensi dengan sebuah pernyataan kondisional adalah valid jika dan hanya jika pernyataan kondisional tersebut merupakan tautology.

Jika kita mempunyai pernyataan dalam bentuk A ⇒ (B ⇒ C), maka pernyataan terebut ekuivalen secara logika dengan (A Ù B) ⇒ C (sesuai dengan prinsip Eksportasi). Jika pernyataan A ⇒ (B ⇒ C) adalah tautology maka pernyataan (A Ù B) ⇒ C adalah tautology juga, sebab keduanya ekuivalen. Argumen yang berkoresponden dengan pernyataan A ⇒ (B ⇒ C) adalah A \ B ⇒ C

Sedang argument yang berkoresponden dengan pernyataan (A Ù B) ⇒ C adalah

A

B

\C

Kedua argument diatas valid, jika pernyataan yang berkoresponden dengan argument tersebut masing-masing merupakan tautology. Ini menunjukan bahwa jika kita akan membuktikan argument

A

\ B ⇒ C

maka kita dapat menarik kesimpulan validitas argument tersebut dengan mengubahnya menjadi argument dengan bentuk

A

B

\C

Aturan ini disebut Aturan Pembuktian Kondisional (Rule of Conditional Proof). Dengan menggunaan aturan ini kita memperoleh premis tambahan yang diperoleh dari anteseden konklusinya dan konsekuen pada konklusi diubah menjadi konklusi yang baru.

BAB III

PENUTUP

III.1 Kesimpulan

      Argumen adalah mencari kebenaran dari suatu pernyataan berupa kesimpulan, dengan berdasarkan pada kebenaran dari satu kumpulan pernyataan yang disebut premis-premis Argumen artinya sekumpulan pernyataan yang terdiri dari premis-premis dan diikuti satu kesimpulan.

            Adapun Pembuktian keabsahan suatu bentuk argument yang mengandung banyak variable melalui tabel nilai adalah kurang praktis. Lagi pulas, cara yang demikian tidak akan memupuk pandangan kita tentang hubungan antara argumemn-argumen, hal ini dikarenakan cara ter sebut hanya bekerja sebagai mesin tanpa menambah pengetahuan, mislnya untuk pembuktian suatu argument yang terdiri dari 5 variabel, kita memerlukan. Table yang besar yang memuat 2⁵ = 32g baris. Sungguh merupakan suatu pekerjaan yang amat menjemukan untuk memerikasa keabsahan aragumen itu baris demi baris.

            Serta argumen juga dapat dilakukan dengan menggunakan pembuktian langsung dan tidak langsung, dan aturan-aruran yang telah ada.

III.2   SARAN

        Demikianlah makalah yang kami susun semoga dapat bermanfaat bagi pembaca serta bias memahami mengenai bentuk-bentuk argumen dengan membaca informasi-informasi dari buku yang ada

DAFTAR PUSTAKA

·      http://www.gudang materi.com/2009/12/tautology-kontrakdiksi-contingen-dan.htm

·      Sumber: Kusumah, YS. (1986). Logika Matematika Elemnter. Bandung: TARSITO.